Родился 20 июля 1938 года в Батуми. Относится к старинному княжескому роду, правившему в Аджарии со средних веков. Окончил историко-филологический факультет Батумского педагогического института (в 1962 году) и факультет планирования народного хозяйства Тбилисского госуниверситета (в 1984 году). В 1962 году осужден на два года условно за хранение огнестрельного оружия и злостное хулиганство. Затем преподавал в батумском музыкальном училище, был директором ПТУ, занимался комсомольской работой. С 1981 года зампред исполкома Батумского горсовета. В 1984 году стал министром бытового обслуживания населения Аджарской АССР, с 1986 года замминистра бытового обслуживания населения Грузинской ССР, затем президент госконцерна по бытовому обслуживанию населения "Грузбытсервис".
В марте 1991 года при поддержке тогдашнего грузинского президента Звиада Гамсахурдиа стал и. о. председателя верховного совета Аджарии. В июле того же года избран председателем парламента. В 1992 году создал и возглавил политическую партию "Всегрузинский союз Возрождения". В октябре 1996 года переизбран председателем верховного совета Аджарии. В апреле 2000 года был кандидатом на выборах президента Грузии, за день до голосования снял свою кандидатуру. 4 ноября 2001 года избран главой Аджарии, получив 99% голосов избирателей.
После "революции роз" в конце 2003 года у Аслана Абашидзе не сложились отношения с новым лидером страны Михаилом Саакашвили. В апреле 2004 года, выступая на первой сессии нового парламента, господин Саакашвили заявил, что "клан Абашидзе является бандой преступников, убийц и наркодилеров". В мае 2004 года президент Саакашвили ввел в Аджарии прямое президентское правление. К автономии был переброшен грузинский спецназ, в Батуми начались беспорядки, и 6 мая Аслан Абашидзе покинул республику и уехал в Россию.
В декабре 2005 года генпрокуратура Грузии возбудила против господина Абашидзе уголовное дело по обвинению в терроризме, превышении служебных полномочий, мошенничестве и незаконном хранении оружия и боеприпасов. В марте 2006 года добавилось обвинение в преднамеренном убийстве в 1991 году заместителя председателя парламента Аджарии Нодара Имнадзе.
Награжден высшей грузинской наградой — орденом Вахтанга Горгасала 1-й степени, советским орденом "Знак Почета", российским орденом Дружбы, почетным знаком РФ "За службу на Кавказе". Лауреат премии Фритьофа Нансена. Имеет звание генерал-майора грузинской армии и полковника армии РФ.