Родился 17 января 1960 года в селе Еловка Иркутской области. В 1987 году окончил Красноярский пединститут по специальности "физвоспитание".

Работал на заводе, преподавал в школе. В начале 1990-х годов основал фирму "Строительство, технологии, металл" (СМТ) на Красноярском алюминиевом заводе (КрАЗ). В 1992 году приобрел 10% акций КрАЗа, к 2000-м увеличил долю до 28%. Борьбу за контроль над заводом СМИ окрестили первой алюминиевой войной, жертвами которой стали заместитель гендиректора КрАЗа Вадим Яфясов и еще ряд предпринимателей. В 1996 году Быков вошел в совет директоров завода, в 1998-м стал его председателем. В СМИ он фигурировал как "самый авторитетный человек в Красноярском крае", известный также по кличкам Толя Бык и Челентано.

С 1997 года регулярно избирался в заксобрание Красноярского края (в последний раз в 2011-м). На выборах главы региона в 1998 году поддержал Александра Лебедя, однако вскоре после победы последнего заявил, что "ошибся в нем как в губернаторе". Стороны вступили в открытый конфликт. В марте 1999 года по итогам инициированной Лебедем проверки против бизнесмена возбудили дело о занижении энерготарифов в пользу КрАЗа. Позже добавилось обвинение в убийстве бизнесмена Олега Губина, и Анатолий Быков скрылся в Венгрии.

В сентябре 1999 года Быков мог стать вторым в избирательном списке ЛДПР на выборах в Госдуму, но ЦИК исключил его из списка, заявив, что он скрыл наличие джипа и недвижимости в Красноярском крае. Тогда же Лебедь, комментируя появление нового компромата на Быкова, заявил: "Дракон убит".

В ноябре 1999 года Быков был задержан в Венгрии и вскоре этапирован в Россию. В июне 2002-го Мещанский суд Москвы приговорил его к шести с половиной годам условно за организацию покушения на "авторитетного бизнесмена" Вилора Струганова (Паша Цветомузыка). В июле 2003 года Быков получил еще год за сокрытие следов убийства Олега Губина, но был амнистирован.

Во время нахождения Быкова под стражей контрольный пакет КрАЗа консолидировал "Русал", а после проведенной допэмиссии доля Быкова в КрАЗе снизилась с 28% до 4%. Отстоять интересы в суде ему не удалось, и в 2004 году структуры Быкова продали оставшиеся 4% "Русалу" за $107 млн.

В марте 2012 года Быков в открытом письме премьеру Дмитрию Медведеву заявил о готовности помочь "восстановить авторитет и правительства, и "Единой России"". Не получив ответа, он возглавил красноярское краевое отделение партии "Патриоты России". По итогам выборов 8 сентября 2013 года "патриоты" получили 14 мест в гордуме Красноярска против 12 у единороссов.

На выборах главы региона в 2014 году поддержанный Анатолием Быковым Иван Серебряков занял третье место (13,88% голосов).