Он будет особенно полезен тем, кто занимается автоматическим управлением

Сотрудники Института проблем машиноведения РАН создали новую теорию, позволяющую предсказывать поведение физических моделей, в том числе сетевых систем. Так, например, метод подходит для электроэнергетических систем — их можно синхронизировать по частоте, фазе и напряжению, причем как при нормальном режиме работы, так и при аварийных состояниях. В целом он даст возможность исследовать те объекты, которые раньше можно было изучать только с помощью решения сложных систем дифференциальных уравнений или нельзя было изучить вовсе. Исследование выполнено при поддержке Президентской программы Российского научного фонда (РНФ).

Представьте, что вы открываете кран воды. Вы ожидаете, что капли будут падать вниз, а не полетят вверх и не образуют зависший в воздухе шар. Таким образом, пусть и очень грубо, вы предсказываете поведение объекта — струи воды. Или многих объектов сразу, а именно ее капель. Тем же занимается теория динамических систем — дисциплина, позволяющая изучать поведение разных объектов в пространстве и времени. Конечно, ее предсказания гораздо точнее.

Вернемся к примеру с водяной струей. Давайте подвинем кран немного вправо или влево. Понятно, что если под ним плоская поверхность, то капли будут вести себя практически одинаково. Однако если под ним находится воздушный шарик, то даже несколько миллиметров имеют большое значение. Подобные изменения в поведении системы — воды — при небольшом варьировании изначальных условий характеризуют устойчивость. Вместе с тем устойчивость может быть определена по-разному, потому что изменения относительны, но суть одна.

Проблема заключается в том, что некоторые системы описываются дифференциальными уравнениями, решить которые сложно, а порой даже невозможно. Значит, установить их устойчивость подобным способом тоже не получится. К счастью, есть другие методы, первый из которых был предложен Александром Ляпуновым еще в конце XIX века и активно используется до сих пор. Но он тоже подходит не для всех типов уравнений — значит, проблема еще далека от разрешения.

Российские ученые из Института проблем машиноведения Российской академии наук (ИПМаш РАН) предложили новый метод предсказания устойчивости, который позволит увеличить количество доступных для исследования систем. Для этого они обобщили предыдущие методы, в том числе метод Ляпунова, и произвели дальнейшие математические преобразования. Кроме того, в работе использовали компьютерное моделирование. В итоге исследователи предложили новые условия, по которым можно определить устойчивость модели. Всего было опубликовано три статьи с разницей в несколько месяцев, последняя из которых и завершила создание новой теории исследования устойчивости динамических систем.

«Предложенный нами способ также подходит не для любых типов уравнений, но он расширяет класс исследуемых систем, на которые может быть неприменим метод функций Ляпунова,— поясняет Игорь Фуртат, один из авторов статьи, ведущий научный сотрудник ИПМаш РАН, доктор технических наук и руководитель проекта по гранту РНФ.— Применение данного метода позволит исследователям во многих областях, например в гидромеханике и электромагнетизме, узнать, когда процессы будут устойчивыми, а когда — нет, а также что необходимо сделать для достижения устойчивых состояний».

По мнению авторов статьи, новый метод может быть особенно перспективен в теории автоматического управления. Эта дисциплина позволяет создавать регуляторы разных механизмов — например, нагревательного элемента терморегулятора. Однако в основном новый способ будет направлен на синхронизацию информационных сетей, где в каждый «узел» сети входят и выходят информационные или физические связи. Так, например, метод подходит для электроэнергетических систем — их можно синхронизировать по частоте, фазе и напряжению, причем как при нормальном режиме работы, так и при аварийных состояниях.

Stability/Instability Study and Control of Autonomous Dynamical Systems: Divergence Method; Igor B. Furtat; Pavel A. Gushchin; журнал IEEE Explore, февраль 2021 г.