Родился 27 января 1987 в Москве. В 2002 и 2005 годах Шунин привлекался в юношеские сборные команды России и Москвы. С 2007 года стал игроком молодежной сборной России.

В апреле 2007 года дебютировал в основном составе «Динамо» в матче 6-го тура чемпионата России с командой «Химки», после чего был награжден премией «Открытие сезона» по версии Российского футбольного союза. 22 августа 2007 года дебютировал в национальной сборной России в товарищеском матче против сборной Польши (2:2).

В переходном сезоне-2011/12 Шунин выиграл конкуренцию у Владимира Габулова (который вскоре покинул команду) и провел почти все матчи в основном составе без замен, сыграв при этом 17 матчей «на ноль» и выдал сухую серию — «Динамо» не пропускало 461 минуту.

В ноябре 2012 года во время игры «Динамо» — «Зенит» на 37-й минуте петербургскими болельщиками на поле была брошена петарда, попавшая в Шунина. В результате взрыва голкипер был оглушен, получил химический ожог роговицы и другие травмы. Матч был остановлен, «Зениту» позже было присуждено техническое поражение 0:3.

В ходе сезона-2013/14 Шунин потерял место в стартовом составе клуба, которое вновь занял вернувшийся в «Динамо» Габулов. По итогам сезона-2015/16 «Динамо» впервые в истории вышло в ФНЛ. Шунин принял решение остаться в клубе, несмотря на предложения от других команд Премьер-лиги. После этого футболист стал капитаном команды и одним из ее лидеров.

В 2019 году вышел в стартовом составе в матче отборочного турнира Евро-2020 против Сан-Марино. В сентябре 2020 года Шунин сыграл два матча в основе сборной против команд Сербии и Венгрии в рамках Лиги наций UEFA. На Чемпионате Европы-2020 сыграл в основе матч против Бельгии, закончившийся поражением России со счетом 0:3.

В 2021 году стал рекордсменом «Динамо» по количеству проведенных игр (240) в высшем дивизионе чемпионата России. Бронзовый призер премьер-лиги и финалист Кубка России сезона-2021/22. Вместе с этим в последние сезоны неоднократно пропускал матчи из-за травм.

1 июля 2024 года «Динамо» объявило об уходе Антона Шунина из команды. Голкипер завершил выступления за клуб в связи с истечением срока контракта.

За свою карьеру сыграл 450 матчей, в которых пропустил 486 голов, завершил 159 игр «всухую», в том числе 101 — в премьер-лиге.

По данным Transfermarkt, текущая стоимость игрока составляет €400 тыс.

Кандидат на приз имени Льва Яшина «Лучший вратарь России-2023/24».