Родился 30 июля 1968 году в Ростове-на-Дону. Окончил Московское высшее общевойсковое командное училище (1989), Северо-Кавказскую академию госслужбы (2002). Проходил службу командиром механизированного взвода в Северо-Кавказском военном округе. С 1991 года занимался бизнесом.
Согласно официальной декларации, в 2011 году Алексей Кнышов заработал 126 млн руб. В его собственности находились 12 земельных участков, два жилых дома, шесть квартир (из них одна в США), гараж, автостоянка, производственная база и два легковых автомобиля. Он являлся совладельцем и учредителем более десяти компаний, в том числе — ОАО "Донаэродорстрой", ОАО "Майкопнормаль" (входят в группу компаний "Дон" — одного из крупнейших строительных объединений юга России), ЗАО "Дондорстрой", ЗАО "Ростовтехпром" и других.
В 1998, 2003 и 2008 годах избирался депутатом заксобрания Ростовской области. С 2005 года — член партии "Единая Россия". В декабре 2011 года избран депутатом Госдумы. Вошел в состав комитета по строительству и земельным отношениям, возглавил экспертный совет по дорожному хозяйству и логистической инфраструктуре. 24 октября 2012 года полномочия депутата Кнышова были прекращены по его же заявлению.
В октябре того же года ОАО "Донаэродорстрой" выиграло тендер на строительство дороги Ростов--Азов за 7,43 млрд руб., но ФАС отменила его итоги. В ноябре эта же компания выиграла повторный тендер, понизив цену до 6,6 млрд руб. В январе 2013 года ФАС отменила тендер на строительство водноспортивного объекта за 531 млн руб., в котором победило ЗАО "Дондорстрой".