Об открытиях в науке, зеркальной симметрии и связях в математике рассказывает Виктор Пржиялковский, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Математического института им. В. А. Стеклова РАН.
Фото: Из личного архива
Фото: Из личного архива
Существует неправильная и вредная, на мой взгляд, фраза «настоящий ученый должен уметь за десять (пять, 15) минут объяснить ребенку то, чем он занимается». Ученые занимаются сложными и глубокими вещами, и объяснить их невозможно, можно только сделать вид, что объяснил, а слушатель может сделать вид, что понял.
Тем более это относится к математике, которая, пожалуй, наименее наглядная из всех наук.
Более правильной мне кажется фраза Канта «в каждом отделе естествознания есть лишь столько настоящей науки, сколько в нем математики».
Всем известно, что ХХ век — век физики. Но если обывателя спросить, какой главный прорыв в физике был сделан в XX веке, он, скорее всего, назовет теорию относительности. Однако гораздо более важным и глубоким, на мой взгляд, достижением физики XX века стало создание квантовой механики. Ее, говоря современным языком, сложнее продать, чем теорию относительности, и сложнее сделать вид, что объяснил обывателю за десять минут, сказав все относительно, но эта наука стараниями Бора, Борна, Гейзенберга, Дирака, Паули, Планка, Шредингера, Эренферста возвела понимание физики на новый уровень. Кроме того, на квантовой механике основано большинство главных технологических достижений ХХ века: вся электроника, медицинские приборы, атомная энергетика, модные нынче нанотехнологии.
Квантовая механика изучает микромир — элементарные частицы и их взаимодействие.
С момента ее возникновения было открыто несколько десятков элементарных частиц. (Как шутит мой товарищ, чем больше денег вкладывают, тем больше частиц находят.) Оказалось, что для описания этих частиц, их свойств и взаимодействия недостаточно обычного представления о частицах как о точках в четырехмерном пространстве—времени. На микроуровне они обладают дополнительными измерениями. Наглядно это можно представить, например, так: с самолета футбольный мяч кажется просто точкой, тогда как муравью, по нему ползущему, он кажется бесконечной двумерной плоскостью. Для микромира была создана теория струн, в которой частицы описываются не как точки, а как струны — одномерные открытые или замкнутые объекты, напоминающие струны.
Чтобы теория была полна и непротиворечива (на физическом уровне строгости), в ее описание необходимо включить дополнительные параметры-измерения, число которых (включая четыре обычных измерения пространства—времени) в различных теориях варьируется от 10 аж до 26.
Возможно менее заметным, но уж никак не менее значимым, чем в физике, в ХХ веке стал прорыв в математике. Математика вышла на качественно новый уровень, усложнилась, систематизировалась, расширилась. Этот прорыв можно уподобить переходу от романтической эпохи путешественников-первооткрывателей к современным крупнейшим международным исследовательским программам. В математике были открыты или радикально развиты новые области: топология, дифференциальная геометрия, теория вероятностей, алгебраическая геометрия, теория категорий и другие.
Зачастую новые идеи или даже области в математике приходят из физики. Физические теории дают неожиданные наблюдения и гипотезы, которые сложно сделать «изнутри» математики. Конечно, с точки зрения математиков, эти теории не обладают должным уровнем строгости, в них нет даже строгих определений. Теоремы математической физики для математиков выглядят лишь правдоподобными рассуждениями. (Физики, в свою очередь, относятся к строгим теориям и рассуждениям математиков как к «игре в бисер».) Однако некоторые математические теории возникли как раз в попытках придать физической интуиции математическую строгость. Так случилось с одним из самых важных математических прорывов последних двух-трех десятилетий — зеркальной симметрией.
Так что изучает зеркальная симметрия? Строго («за десять минут») объяснить сложно, да, видимо, и невозможно. Из теории струн вытекает, что два совершенно разных описания (А-модель и Б-модель) парадоксальным образом эквивалентны. На математическом языке это значит следующее. Объекты теории (многообразия Калаби—Яу) обладают свойствами совершенно разной природы — симплектическими и алгебро-геометрическими (они соответствуют А-модели и Б-модели соответственно). Так вот, теория предсказывает, что для каждого объекта X существует другой объект Y, такой, что симплектические свойства для X соответствуют алгебро-геометрическим свойствам для Y, а алгебро-геометрические свойства для X — симплектическим свойствам для Y. Это то, что математики любят больше всего: когда совершенно разные области связаны между собой. Это дает возможность использовать методы одной области для изучения другой. Кроме того, это вскрывает незаметные до этого связи между разными областями математики, делая ее более единой.
Зеркальная симметрия — одна из самых «модных» и наиболее активно развивающихся областей математики. За работу в этой области было присуждено несколько Филдсовских премий (которые принято считать аналогом Нобелевских премий для математиков): Эдварду Виттену (1990), Максиму Концевичу (1998), Андрею Окунькову (2006). Лидирующие позиции в исследованиях занимают отечественные ученые, работающие как в России (Алексей Бондал, Александр Кузнецов, Андрей Окуньков, Дмитрий Орлов и другие), так и за рубежом (Сергей Гуков, Юрий Манин, Никита Некрасов, Антон Капустин, Максим Концевич и другие). С 2017 года в Высшей школе экономике по программе мегагрантов работает лаборатория зеркальной симметрии.
Зеркальная симметрия — во многом гипотетическая область математики. Она состоит из ряда гипотез (более точно — разных взглядов на одну, правильным образом еще не сформулированную гипотезу).
Первое математическое наблюдение, сделанное с помощью зеркальной симметрии, поразило математиков. Оно заключалось в предсказании численных инвариантов одного классического объекта («трехмерной квинтики»); вычисления первых нескольких таких инвариантов классическими методами длятся со второй половины XIX века. Понятие инварианта — одно из самых важных в математике. Оно означает характеристику (например, число), одинаковую для всех объектов некоторого класса, позволяющую различать такие классы. Например, инвариантом является число элементов конечного множества: множества, состоящие из разного количества элементов, никак нельзя отождествить. Различные варианты гипотезы зеркальной симметрии отождествляют различные инварианты двойственных объектов. Самый грубый вариант гипотезы (зеркальная симметрия вариаций структур Ходжа), используя теорию Громова—Виттена, предсказывает числа рациональных кривых, лежащих на многообразиях Калаби—Яу или Фано (объектах зеркальной симметрии), самый сильный — гомологическая зеркальная симметрия, сформулированная Максимом Концевичем,— формулирует зеркальное соответствие на уровне теории категорий.
Гипотезу зеркальной симметрии вариаций структур Ходжа во многих случаях можно доказать, однако из нее можно извлечь не так много интересных следствий. Гипотеза гомологической зеркальной симметрии, наоборот, вскрывает глубокие и неожиданные связи между многообразиями и имеет много интересных и важных следствий, однако ее очень сложно доказать даже в самых простых случаях.
Возникшая в Москве около десяти лет назад теория торических моделей Ландау—Гинзбурга — нечто среднее. Она обладает методами, позволяющими доказать версию гипотезы зеркальной симметрии для большого класса объектов и установить соответствие между инвариантами двойственных многообразий. Она также поставляет примеры и гипотезы для гомологической зеркальной симметрии и позволяет во многих случаях доказать ее на численном уровне. Кроме того, она вскрывает связь со многими областями математики — топологии, алгебраической (в частности, бирациональной) геометрии, симплектической геометрии, теории Ходжа, теории чисел и другими.
Эта теория в последнее время приобретает все большую популярность, ей занимаются группы исследователей в Имперском колледже Лондона, Ноттингеме, США, Канаде.
У читателя может возникнуть естественный вопрос: для чего все это нужно? На мой взгляд, этот вопрос неправильный. Цель человечества — познать мир, а самый объективный способ познания — математика. Описания мира разной степени научности у разных независимо развивающихся народов зачастую разные, да и концепции общепринятых наук время от времени меняются. Однако одно и то же понятие чисел 1, 2, 3 и так далее возникло у всех, и такое же понятие возникнет (или уже возникло?) у жителей системы Альфа Центавра. Это понятие абсолютное — оно никак не меняется со временем.
Теория зеркальной симметрии является основным инструментом для теории струн. Я считаю, что от математики нельзя требовать практического применения (хотя она и используется во всех науках, от филологии до химии, за что и называется «царицей наук»). Конечно, математика часто имеет неожиданные применения; не буду напоминать набивший оскомину пример использования алгебраической геометрии в теории кодирования, без которого не будет работать ни одна кредитная карта, или изобретение интернета.
Человечество обеспечило себя в материальном плане большим запасом, хотя и страдает от неравномерного распределения материальных благ, но это уже другой вопрос. И как раз на него математика может и должна влиять. А именно, она должна возвышать людей, возводить их на более высокий интеллектуальный и нравственный уровень. Несколько столетий назад вершиной науки считалось решение квадратных и кубических уравнений, и войн, нетерпимости и убийств было на порядок больше, чем сейчас; теперь эти уравнения проходят в школе, и многое, что считалось обычным раньше, считается неприемлемым сейчас.