Родился 4 октября 1964 года в Москве. В 1986 году окончил Московский финансовый институт. Затем трудился экономистом в различных структурах Министерства финансов СССР — управлении финансирования социального обеспечения, управлении финансирования здравоохранения и социального обеспечения, отделе финансирования социального развития. В 1988-1989 годах служил в армии. После демобилизации вернулся в Минфин, в 1992 году стал начальником отдела управления валютно-финансового регулирования. В 1993-1994 годах заместитель председателя правления — начальник валютно-экономического управления коммерческого Рострабанка, созданного выходцами из Минфина. Затем вновь вернулся на госслужбу и был назначен заместителем начальника главного управления федерального казначейства Минфина РФ.
С 1999 года начальник департамента финансов аппарата правительства РФ. В 2002 году допрошен как свидетель по делу о финансовых махинациях бывшего начальника главного управления военного бюджета Минобороны Георгия Олейника.
В июне 2003 года, после того как пост главы аппарата правительства РФ занял Константин Мерзликин, господин Дроздов стал его заместителем (главой правительства был Михаил Касьянов). В апреле 2004 года (вскоре после смены премьера и назначения главой аппарата правительства Дмитрия Козака) Антон Дроздов покинул пост заместителя главы аппарата и стал директором департамента экономики и финансов правительства.