Муравьев Иван Александрович родился 22 апреля 1982 года в Горьком (ныне Нижний Новгород). Окончил Нижегородский госуниверситет, затем Московскую международную высшую школу бизнеса МИРБИС. В 2003-2006 годах работал в коммерческих структурах. В 2006 году стал советником отдела взаимодействия с палатами Федерального собрания департамента по международному сотрудничеству и связям с общественностью Минздравсоцразвития, в 2007 году — заместитель директора департамента. С 2008 года — начальник управления делами Рособрнадзора (позже стало управлением делами и координации проектной деятельности). С 2010 года — заместитель главы ведомства. 3 ноября 2012 года возглавил Рособрнадзор. Стал одним из самых молодых руководителей федеральных ведомств (моложе только глава Минкомсвязи Николай Никифоров).
В 2009 году в нижегородской академии МВД России защитил кандидатскую диссертацию по юриспруденции на тему "Законодательное исключение: теория, практика, техника". В апреле 2013 года в ряде блогов и СМИ появилась информация о наличии в диссертации 16,93% заимствований без ссылок на первоисточники. В академии обвинения назвали безосновательными, но их активно поддерживал депутат Госдумы от "Единой России" Владимир Бурматов.